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波特圖相頻特性曲線原理_環(huán)路分析儀選擇

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波特圖是線性非時(shí)變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對(duì)頻率的半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，利用波特圖可以看出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。又稱幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線圖。

波特圖是由貝爾實(shí)驗(yàn)室的荷蘭裔科學(xué)家亨德里克·韋德·波特在1930年發(fā)明。波特用簡(jiǎn)單但準(zhǔn)確的方法繪制增益及相位的圖，因此他發(fā)明的圖也就稱為波特圖。

波特圖幅頻圖的頻率用對(duì)數(shù)尺度表示，增益部分一般都用功率的分貝值來表示，也就是將增益取對(duì)數(shù)后再乘以10。由于增益用對(duì)數(shù)來表示，因此一傳遞函數(shù)乘以一常數(shù)，在波特增益圖只需將圖形的縱向移動(dòng)即可，二傳遞函數(shù)的相乘，在波特幅頻圖就變成圖形的相加。幅頻圖縱軸0分貝以下具有正增益裕度、屬穩(wěn)定區(qū)，反之屬不穩(wěn)定區(qū)：

波特圖相頻圖的頻率也用對(duì)數(shù)尺度表示，而相位部分的單位一般會(huì)使用度。配合波特相頻圖可以估算一信號(hào)進(jìn)入系統(tǒng)后，輸出信號(hào)及原始信號(hào)的比例關(guān)系及相位。例如一個(gè)Asin(ωt) 的信號(hào)進(jìn)入系統(tǒng)后振幅變?cè)瓉淼?em>k倍，相位落后原信號(hào)Φ，則其輸出信號(hào)則為(Ak)sin(ωt−Φ)，其中的k和Φ都是頻率的函數(shù)。相頻圖縱軸-180度以上具有正相位裕度、屬穩(wěn)定區(qū)，反之屬不穩(wěn)定區(qū)

若將系統(tǒng)的增益以復(fù)數(shù)表示，則復(fù)數(shù)增益取對(duì)數(shù)后的虛部即為相位，因此二傳遞函數(shù)的相乘，在波特相位圖上也是圖形的相加。 ^[1]

在系統(tǒng)穩(wěn)定性的應(yīng)用

編輯

波特圖可用來計(jì)算負(fù)反饋系統(tǒng)的增益裕度（gain margin）及相位裕度，進(jìn)而確認(rèn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ^[2] 

波特圖相關(guān)符號(hào)定義

先定義以下的符號(hào)：

其中

• A_FB是考慮反饋時(shí)的放大器增益（閉環(huán)增益）

• β是反饋系數(shù)

• A_OL是不考慮反饋時(shí)的放大器增益（開環(huán)增益）。

在開環(huán)增益A_OL遠(yuǎn)大于1時(shí)，閉環(huán)增益A_FB可以用以下方式近似

在開環(huán)增益A_OL遠(yuǎn)小于1時(shí)，閉環(huán)增益A_FB可以用以下方式近似

增益A_OL是頻率的復(fù)變函數(shù)，有大小及相位。

上述的式子中，若βA_OL乘積=−1時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)增益無(wú)窮大（即為不穩(wěn)定）的情形。（若用大小和相位來表示，此時(shí)βA的大小為1，相位為-180度，此條件即稱為巴克豪森穩(wěn)定性準(zhǔn)則。配合波特圖，不但可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，也可以判斷系統(tǒng)接近以上不穩(wěn)定條件的程度。

在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，會(huì)用到以下二個(gè)頻率。di一個(gè)頻率f₁₈₀是上述乘積相位恰為-180度的頻率，第二個(gè)頻率f_0dB則為乘積的值|βA_OL|=1時(shí)的頻率（若以分貝表示時(shí)，則為0dB）。頻率f₁₈₀可以用下式來計(jì)算：

其中| |表示復(fù)數(shù)的值（例如|a+jb| = [a+b]）。而頻率f_0dB有以下的關(guān)系：

波特圖增益裕度

增益裕度（gain margin, GM）是衡量系統(tǒng)穩(wěn)定程度的一種方法。在波特相位圖上可以找到βA_OL相位到達(dá)-180度時(shí)的頻率，該頻率即為f₁₈₀，之后就可以在增益圖上找到該頻率時(shí)βA_OL的大小。

若|βA_OL|₁₈₀> 1，表示此系統(tǒng)不穩(wěn)定。若|βA_OL|₁₈₀< 1，此系統(tǒng)穩(wěn)定，而|βA_OL|分貝值和0dB（對(duì)應(yīng)增益大小為1）的距離表示系統(tǒng)距離不穩(wěn)定的程度，稱為增益裕度。

增益裕度也可以用下式表示：

波特圖相位裕度

相位裕度（phase margin, PM）是另一種衡量系統(tǒng)穩(wěn)定程度的方法。在波特增益圖上可以找到|βA_OL|大小為1的頻率，該頻率即為f_0dB，之后就可以在相位圖上找到該頻率時(shí)βA_OL的相位。

若βA_OL(f_0dB) 的相位 > −180°，表示在任何頻率時(shí)系統(tǒng)都會(huì)穩(wěn)定，因?yàn)樵?em>f₁₈₀時(shí)大小已小于1，f_0dB時(shí)的相位和-180度之間的差稱為相位裕度。

若只是單純要判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，在系統(tǒng)為小相位系統(tǒng)時(shí)，若以下的式子成立，則系統(tǒng)穩(wěn)定：

若是非小相位系統(tǒng)，需要用其他方式判斷穩(wěn)定性，如奈奎斯特圖。 ^[1] 

波特圖波特分析儀

波特分析儀（Bode plotter）是一種類似示波器的儀器，可以量測(cè)反饋控制系統(tǒng)或?yàn)V波器在各頻率的增益及相位變化，繪制成波特圖。波特測(cè)試儀可以量測(cè)系統(tǒng)的截止頻率、增益裕度及相位裕度，在分析或測(cè)試系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)很有幫助。

波特分析儀的功能和網(wǎng)絡(luò)分析儀一樣，不過網(wǎng)絡(luò)分析儀一般會(huì)用來分析相當(dāng)高頻時(shí)的系統(tǒng)特性。

在教育或研究的應(yīng)用上，利用波特分析儀繪制特定傳遞函數(shù)的波特圖也可助于了解該系統(tǒng)的特性。